도서 소개

고등학교 수학 교과 과정에 나오는 개념들을 알기 쉽게 풀이해 주는 '친절한 수학 개념 해설서'. "개념과 원리를 알려 준다"는 책들이 대부분 기존의 문제집에서 개념과 원리 부분을 강화하는 수준에 그치는 데 비해, 이 시리즈는 말 그대로 '개념'과 '사고법'을 중점적으로 파고든다. '문제를 푸는' 수학책이 아니라 '보고 읽으며 이해하는' 수학책이다. 상위권 학생들에게 맞춰 진행되는 학교와 학원의 수업을 따라가기 버거운 학생들, 난이도 높은 고등학교 수학을 배워야 하는 예비 고등학생들이 읽으면 수학의 기초 체력을 단련하기에 좋다.

'허수와 복소수' 편은 실수의 상대 개념인 허수와, 그 허수와 실수를 모두 포함하는 복소수를 다룬다. 허수와 복소수의 개념을 알면 알수록 실수 개념이 명확해지고 수의 체계가 잡힌다. 실수는 자연적인 수, 허수는 인공적인 수라는 이분법을 걷어 내고 고찰하면, 수의 본질이 무엇이고 한 가지 수가 '수로서 인정'받기 위해 어떤 조건들을 갖춰야 하는지도 생각해 볼 수 있다. 이 책에서는 유리수와 무리수, 음수와 허수가 인정을 받는 과정을 살피면서 수의 체계에 대한 이해를 도모한다. 또 실수와 허수의 상위 체계인 복소수를 복소평면 위에 나타내거나 극형식으로 표현했을 때 수학적으로 어떤 놀라운 일이 벌어지는지 보여 준다.

  출판사 리뷰

개념을 확실히 잡아 주는 친절한 수학책

수학은 암기 과목이 아니다. 그럼에도 공식을 외고 문제를 더 많이 푸는 기계적인 방식으로 수학 성적을 올리는 데 가르치는 쪽과 배우는 쪽 모두가 혈안이 되어 있다. 기본 개념이 정립되어 있지 않은 상태에서는 공식의 암기나 심화 문제 풀이에 한계가 있음은 누구나 알고 있다. 그러나 짧은 시간에 교과 과정과 수능 시험이 요구하는 수준의 진도를 나가야 한다는 부담감에 조급함이 앞서는 것이다.
수학 수업은 물론이고 각종 문제집과 학습서마저도 상위권 학생들에 맞춰 나오다 보니, 거기에서 뒤처지는 학생들은 결국에는 이른바 '수포자'(수학 포기자)의 길을 걷게 된다. '국포자', '영포자', '과포자' 등의 비슷한 조어들에 비해 '수포자'가 더 널리 쓰이는 것은, 그만큼 난이도가 높고 한번 진도의 흐름을 놓치면 따라잡기가 도통 쉽지 않은 수학 과목의 특성이 반영되어 있다.
이처럼 학교나 학원의 수업 진도를 따라가기 버거운 학생들, 또 중학교 수학 과정을 마치고 고등학교의 심화된 수학을 준비하고 있는 예비 고등학생들에게는 수학의 기본 개념을 찬찬히, 그러면서도 확실히 다져 주는 '개념 중심의 수학책'이 필요하다. 『개념부터 다시 시작하는 Reset! 수학』 시리즈는 이러한 수학의 '개념'에 모든 것을 바쳤다.
"개념과 원리를 알려 준다"는 책들이 대부분 기존의 문제집에 개념과 원리 부분을 강화하는 수준인 데 비해, 이 시리즈는 말 그대로 '개념만' 중점적으로 파고든다. 많은 문제를 풀게 함으로써 개념을 이해시키는 것이 아니라 '사고하는 방법'에 초점을 맞춰 이야기보따리를 풀어 놓는 것이다. 즉 '문제를 푸는' 수학책이 아니라 '보고 읽으며 이해하는' 수학책이라 할 수 있다.
간간이 문제가 등장하기는 해도 개념 이해를 돕기 위해 기초적인 수준에서 고안된 것일 뿐, 현재의 고등학생들이 수시로 치르는 시험 문제와 같은 난이도는 전혀 아니다. 이 시리즈의 저자 역시 책에 등장하는 수식 중에 혹시 이해하기 어려운 것이 있다면 고민하지 말고 훌쩍 넘기라고 충고한다. '연습 문제 풀이' 같은 과정 없이 단순히 책을 읽는 것만으로도 '적어도 개념만큼은 확실히 잡았다'라는 결론을 내릴 수 있을 것이다. 이러한 의미에서 진정한 '수학 개념 책'이라 할 수 있다.

수학의 기초 체력 단련이 필요한 사람이 읽는 책

이러한 수학 교과의 개념을 중점적으로 다룬 책이 과연 필요할까 의문이 들 수도 있을 것이다. 수학 교과 과정에는 집합이나 방정식, 제곱근, 도형의 성질과 같이 중학교, 심지어는 초등학교에서부터 조금씩 단계적으로 배우게 되어 있는 단원들이 있다. 이러한 단원들은 고등학교 수학에 심화된 내용으로 나오더라도 학생들의 부담이 덜하다. 반면에 고등학교에 올라가서야 처음 접할 수 있는 개념들은 갑자기 높아진 난이도와 수능 시험에 나온다는 부담감에 학생들이 괴로워할 만한 단원들이다. 이 시리즈는 1권 미적분, 2권 확률과 통계, 3권 지수와 로그, 4권 허수와 복소수로 구성되어 있는데 '확률과 통계' 정도만 중학교 수학 시간에 '경우의 수' 수준의 기초적인 내용을 배울 뿐, 미적분이나 로그, 허수와 복소수 등 나머지 단원들은 모두 고등학교 과정에서 처음 접하는 분야다. 학생 개개인의 이해 수준 차이는 무시된 채 진도가 나가고 수업이 진행되는 사이 응용문제를 앞에 두고 어디서부터 손대야 하는지 모르는 학생들은 좌절할 수밖에 없다. 이들에게는 문제집을 거듭 푸는 것이 아니라, 다시 기본 개념부터 차근차근 정립하는 것만이 해법이다. 그래야 문제 의도를 파악하고 풀이 방향을 탐지하는 감각을 익힐 수 있는 것이다.
따라서 이 책은 학교와 학원의 진도를 따라가지 못하는 학생들에게 동력을 제공하고 '수포자'들에게는 다시 한 번 수학에 도전할 수 있는 기초를 마련해 줄 것이다. 또 고등학교 진학을 눈앞에 두고 있는 예비 고등학생이나 심화 수학 단원으로 넘어가는 단계에 있는 고등학교 1학년생들에게는 본 수업에 앞서 기초를 탄탄히 하는 선행 학습의 의미를 지닐 수 있을 것이다. 상위권 학생들에게는 응용문제를 푸는 중간 중간에 다시 기본 개념을 상기시켜 줄 수 있는 보조재로서 기능할 수도 있다.
또 문과 출신으로 대학에서 경제학이나 경영학을 공부해야 하는 대학 새내기들(수학 과목이 부담스러워 문과를 선택하는 경우가 많았을 이들은 파생금융상품의 일종인 옵션의 가격 결정 모델을 배우면서 고난도의 미분 방정식을 풀어야 한다), 그리고 어떤 이유에서든 고등학교 수학책을 다시 펼쳐야 하는 성인들에게도 부담스럽지 않은 난이도의 수학책으로 활용될 수 있을 것이다.

주요 내용

고등학교 1학년 수학에 짧게 등장했다가 존재감 없이 사라지고 마는 허수와 복소수. 그러나 허수와 복소수의 개념을 알면 알수록 실수 개념이 명확해지고 수의 체계가 잡힌다. 또 한 가지 수가 '수로서 인정'받기 위해 어떤 조건들을 갖춰야 하는지도 간접적으로 고민하는 기회가 된다.

- 실수는 진짜, 허수는 가짜?
실수는 실재하는 수이고 허수는 상상의 수인가? 이 책은 이러한 이분법 이전에 '수'라는 것 자체가 현실에 당연히 존재하는 것이라고 단정 지을 수 없음을 이야기한다. 자연수부터 0의 존재, 분수와 소수 등 오늘날 당연시되는 수의 종류들도 처음부터 자연스럽게 받아들여지지 못하고 우여곡절 끝에 가까스로 인정되었다는 것이다. 2장에서는 이처럼 허수에 비해 기반이 튼튼하다고 여겨지는 실수가 어떠한 지난한 과정을 거쳐 인정받게 되었는지를 살핀다. 이 과정에서 오늘날 초등학교에서 비슷한 시기에 배우게 되는 분수와 소수가 사실은 3500년 정도의 시차를 두고 각각 발견되었다는 사실, 자연수만을 수로 생각하고 떠받들던 피타고라스가 얄궂게도 자신의 피타고라스 정리에서 '무리수'를 발견하게 되자 그 사실을 비밀에 부쳐야 했던 일화 등을 들려준다.

- 음수와 허수의 눈물겨운 '인정 투쟁'
허수는 제곱해서 -1이 되는 수다. 정의 자체에 음수 개념을 포함하고 있으므로 음수가 먼저 인정받은 뒤에야 세상에 받아들여질 수 있었는데, 이 음수가 인정을 받기까지 오랜 세월이 걸렸다. 무엇보다 '기하학적 대수학'이 대세를 이루고 있던 시대에는 선분의 길이나 도형의 넓이 등이 '음수'라는 것이 수용되지 못했던 것이다. 그래서 중세에 이미 이차방정식의 근의 공식이 발견되었음에도 음수는 인정을 받지 못했다. 17세기 후반 라이프니츠와 뉴턴의 시대에 이르러서야 간신히 인정받았다.
음수의 사정이 이러하니, 허수는 더했다. 허수는 역사적으로 이차방정식과 삼차방정식의 일반해를 구하는 과정에서 매번 등장했지만 이내 다시 물밑으로 가라앉고 말았다. 그러다 18세기에 오일러가 을 처음으로 i로 나타내고, 19세기 초에 가우스가 허수와 실수를 모두 포함한 '복소수'로 파악하면서 마침내 허수의 존재가 인정되었다. 특히 가우스가 복소수를 '복소평면'에 나타내 허수를 시각화한 것은 사람들이 허수의 실재성을 깨닫는 데 결정적인 역할을 했다.

- 복소수의 신기한 특징들
III부에서는 가우스에 의해 수로서의 토대가 확립된 허수와 복소수의 참모습을 본격적으로 탐구한다. 특히 가우스가 고안한 복소평면 위의 움직임을 중심으로 허수와 복소수의 중요한 성질을 정리한다. 실수를 늘어놓은 수직선과, 복소수를 나타낸 복소평면을 비교함으로써 실수와 대비되는 복소수의 성질을 살펴본다. 예를 들어, 실수는 수직선상에 일직선으로 늘어놓을 수 있어 대소 관계가 있지만, 복소수는 복소평면 위에 흩어져 있어 크기를 비교할 수 없다. 또 원점에서 복소수를 나타내는 점을 이은 선분과 그 선분이 실수축과 이루는 각을 '편각'이라 하는데, 복소수의 곱은 각 복소수의 편각의 합으로 나타낼 수 있다는 것을 살펴본다. 복소수를 이처럼 절댓값과 편각으로 나타내면 유용하게 활용할 수 있다. 드무아브르의 정리, 오일러의 공식 등이 대표적이다. III부의 7장에서는 복소수보다 한 차원 높은 수 체계, 즉 복소수를 포함한 수 체계가 가능한지 논해 보고, 복소수가 현재까지 발견된 '사칙 연산이 가능한' 수 체계 중 최상위 체계임을 설명한다.

- 실수의 한계를 넘어서는 복소수의 마법
IV부에서는 수학과 물리학에서 복소수가 어떻게 응용되는지 다룬다. 물리학에서 다양한 현상을 연구할 때는 현상을 수식으로 기록하거나 서술하는 방법을 주로 쓰는데, 이때 쓰이는 수식의 하나로 미분방정식이 있다. IV부는 이처럼 복소수의 미분과 적분, 복소수를 변수로 하는 복소함수 등을 살핀다. 우선, 복소함수와 미분가능성을 다룬 9장에서는 실수를 변수로 하는 실함수의 미분에 대해 다루고, 실함수와 달리 복소함수는 편미분의 조건을 정한 '코시·리만의 방정식'이 성립하면 미분가능하다는 것을 보여 준다. 복소함수가 미분가능하면 등각성의 원리와 항등 정리 등 복소함수만의 두드러진 특징이 나타난다. 또 복소함수와 적분가능성을 다룬 10장에서는 코시의 적분 정리와 적분 공식, 특이점, 테일러급수 등 실함수의 적분이 아닌 복소적분에서만 가능한 성질들을 살펴본다. 이를 통해, 실수 범위에서는 구할 수 없었던 적분값이 복소수 범위에서는 쉽게 나오기도 하는 등 복소수의 은밀한 위력을 실감할 수 있다. 이처럼 복소수는 실수 범위에서는 불가능하거나 복잡하게 구해야 했던 일부 계산을 간단하게 '해치울' 수 있으며, 사인이나 코사인 같은 물결 모양의 파형과 관계된 전기 회로 연구나 양자역학 등의 분야에서 활약하고 있다.

실수란 현실에 당연히 존재하는 수일까?
이 문제를 진지하게 파고들려면 현실이니 상상이니 실재니 하는 것이 무엇인지까지 되짚어야 하겠지만 어려운 문제이므로 여기서는 다루지 않는다.
정확히는 몰라도 적어도 "실수는 현실에 당연히 존재하는 수라고 딱 잘라 말할 수 없다."라고는 할 수 있다. 수라는 것은 당연히 현실에 존재하는 것이라고 순순히 단정 지을 수 없다.
예를 들어 가장 당연해 보이는 1, 2, 3, 4 등의 자연수 개념도 사람이 날 때부터 몸에 지닌 것은 아니다. 눈앞에 나무가 한 그루, 두 그루, 세 그루 있다는 것을 시각적으로만 인식하던 단계에서 그로부터 1, 2, 3…이라는 수의 개념을 획득하는 단계로 나아가는 것만으로도 인간은 추상화 능력에 있어 대단한 도약을 했다라고 할 만한 것이었다.
그러니 실수가 당연히 실재하는 수로 받아들여지기까지는 숱한 고난의 과정을 거쳐야 했다. 실수에는 자연수, 0, 음수, 분수, 소수, 유리수, 무리수 등 다양한 수들이 있는데, 허수와 마찬가지로 대부분 처음에는 좀처럼 인정받지 못했다. 특히 음수는 받아들여지기까지 허수 못지않은 갈등의 역사를 거쳐야 했다. '실수는 당연히 존재하는 수'라는 개념 또는 감정은 처음부터 존재해 온 당연한 것이 아니라 역사적으로 만들어진 것이다.


분수 꼴로 나타낼 수 없는 수를 '무리수'라고 하듯이 분수로 나타낼 수 있는 수를 '유리수'라고 한다.
그런데 무리수라는 말에서는 어김없이 '무리한 수', ' 이치에 맞지 않는 수'라는 의미가 떠오른다. 무리수를 영어로는 'irrational number'라고 하는데, 'ir'은 부정을 뜻하는 접두어이고 'ratio'는 비를 뜻한다. 따라서 원래 의미를 생각하면 무리수란 '이치에 맞지 않는 수'라기보다 '비가 없는 수'라고 해야 딱 맞아떨어진다. 마찬가지로 영어로는 'rational number'인 유리수는 '이치에 맞는 수'라기보다 '비가 있는 수'라고 생각해야 한다.
물론 피타고라스에게는 무리수가 문자 그대로 '이치에 맞지 않는 수'자체였다. 인정하기는커녕 숨겨야 할 수였다. 피타고라스는 '만물의 본질은 수'이고 자연수의 비가 무엇보다 중요하며 모든 수는 분수로 나타낼 수 있다고 생각했는데, 무리수는 그 생각을 완전히 부정하는 수였기 때문이다.
분수는 자연수를 재료로 자연수끼리 비의 관계를 나타낸 수로서 자연수에서 만들어진 수였다. 반면에 무리수는 자연수로는 만들 수 없는 수였다. '만물의 본질은 자연수'라는 믿음을 교리로 삼았던 피타고라스학파에게 무리수란 교리에 어긋나는 수, 그야말로 '이치에 맞지 않는 수'였던 것이다.
무리수는 자연수나 분수와는 전혀 다른, 아예 이질적인 '새로운 수'다. 다음 장에서 다룰 '음수'를 별개로 두면 실수는 자연수와 분수에 이 무리수가 더해져 이루어졌다고 할 수 있다.(조금 관점이 다른 소수는 실수의 분류라는 관점에서는 생각하지 않아도 된다.)


이처럼 실수와 복소수는 모두 절댓값이라는 '크기'가 있다. 그러나 절댓값은 수의 크기 자체는 아니다. 복소수에는 '크기'가 없고 따라서 복소수에서는 대소 관계가 없다. 이것은 실수에서 복소수로 수를 확장했을 때 나타나는 중대한 특징이다.
실수에는 대소 관계가 있다. 다시 말해 모든 실수를 수직선 위에 늘어놓을 수 있고, 오른쪽 수일수록 크다고 정해 놓으면 대소 관계를 만들 수 있다. 그런데 복소수는 복소평면 위에 흩어져 있어 한 줄로 늘어놓을 수 없기 때문에 대소 관계를 만들 수 없다.
예를 들어 대소 관계의 원리를 확 바꾸어 '절댓값이 클수록 수 자체도 크다.'라고 정했다고 하자. 그렇게 정하지 못할 것도 없지만 그다지 의미가 없다. 왜 그럴까?
수학에서 '순서 관계가 있다'고 할 때는 다음 ①~③이 성립해야 한다.
① x >= x (반사율)
② x>= y, y>=x이면 x = y (대칭률)
③ x>= y, y>= z이면 x>= z (추이율)
절댓값의 대소 관계로 수 자체의 대소 관계를 정하면 ②가 성립하지 않는다.

  작가 소개

저자 : 후카가와 야스히사
1952년 일본 아와지에서 태어났다. 교토대 이학부 수학과와 문학부 사회학과를 졸업했으며 동 대학 대학원에서 사회학 연구 석사 과정을 수료했다. 지은 책으로는 『두뇌의 수적 재구축』 『퀴즈로 이해하는 중학 수학』 『퀴즈로 이해하는 고교 수학』 『방정식에 의존하지 않기』 등이 있다.

  목차

추천사·허수, 인간의 상상속에만 존재하는 수(김준교)
머리말·허수에 대한 장벽을 허물 수 있기를……


I 실수는 진짜, 허수는 가짜?

01 허수는 정말 가짜 수일까?
02 실수도 알고 보면 별나다


II 허수는 이렇게 인정받았다

03 음수의 힘겨운 성장과 정착
04 허수, 수학의 높은 장벽을 뚫다


III 허수의 참모습

05 복소수와 복소평면
06 복소수의 곱셈과 회전
07 복소수를 넘어서는 수는 존재할까?


IV 이것이 허수의 힘이다

08 복소함수와 미분가능성
09 복소함수와 적분가능성
10 실제 세계와 허수

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