도서 소개

고등학교 수학 교과 과정에 나오는 개념들을 알기 쉽게 풀이해 주는 '친절한 수학 개념 해설서'. "개념과 원리를 알려 준다"는 책들이 대부분 기존의 문제집에서 개념과 원리 부분을 강화하는 수준에 그치는 데 비해, 이 시리즈는 말 그대로 '개념'과 '사고법'을 중점적으로 파고든다. '문제를 푸는' 수학책이 아니라 '보고 읽으며 이해하는' 수학책이다. 상위권 학생들에게 맞춰 진행되는 학교와 학원의 수업을 따라가기 버거운 학생들, 난이도 높은 고등학교 수학을 배워야 하는 예비 고등학생들이 읽으면 수학의 기초 체력을 단련하기에 좋다.

'지수와 로그' 편은 많은 이들에게 수학 단원의 하나로만 알려져 있는 지수와 로그가 실생활에서 어떻게 응용되는지 보여 줌으로써 지수와 로그 개념을 현실감 있게 이해하도록 유도한다. 세상은 곱셈의 원리, 지수의 원리에 따라 급격하게 움직이는 경향이 있지만, 사람들은 이를 덧셈의 원리에 따라 완만한 흐름으로 파악한다. 이로 인한 오해와 착각을 설명하면서 지수의 본질에 더욱 다가간다. 또 이렇게 덧셈에 더욱 친숙한 인간의 성향이야말로, 지수의 역인 로그의 기본 성질과 부합한다는 점을 살펴본다.

  출판사 리뷰

개념을 확실히 잡아 주는 친절한 수학책

수학은 암기 과목이 아니다. 그럼에도 공식을 외고 문제를 더 많이 푸는 기계적인 방식으로 수학 성적을 올리는 데 가르치는 쪽과 배우는 쪽 모두가 혈안이 되어 있다. 기본 개념이 정립되어 있지 않은 상태에서는 공식의 암기나 심화 문제 풀이에 한계가 있음은 누구나 알고 있다. 그러나 짧은 시간에 교과 과정과 수능 시험이 요구하는 수준의 진도를 나가야 한다는 부담감에 조급함이 앞서는 것이다.
수학 수업은 물론이고 각종 문제집과 학습서마저도 상위권 학생들에 맞춰 나오다 보니, 거기에서 뒤처지는 학생들은 결국에는 이른바 '수포자'(수학 포기자)의 길을 걷게 된다. '국포자', '영포자', '과포자' 등의 비슷한 조어들에 비해 '수포자'가 더 널리 쓰이는 것은, 그만큼 난이도가 높고 한번 진도의 흐름을 놓치면 따라잡기가 도통 쉽지 않은 수학 과목의 특성이 반영되어 있다.
이처럼 학교나 학원의 수업 진도를 따라가기 버거운 학생들, 또 중학교 수학 과정을 마치고 고등학교의 심화된 수학을 준비하고 있는 예비 고등학생들에게는 수학의 기본 개념을 찬찬히, 그러면서도 확실히 다져 주는 '개념 중심의 수학책'이 필요하다. 『개념부터 다시 시작하는 Reset! 수학』 시리즈는 이러한 수학의 '개념'에 모든 것을 바쳤다.
"개념과 원리를 알려 준다"는 책들이 대부분 기존의 문제집에 개념과 원리 부분을 강화하는 수준인 데 비해, 이 시리즈는 말 그대로 '개념만' 중점적으로 파고든다. 많은 문제를 풀게 함으로써 개념을 이해시키는 것이 아니라 '사고하는 방법'에 초점을 맞춰 이야기보따리를 풀어 놓는 것이다. 즉 '문제를 푸는' 수학책이 아니라 '보고 읽으며 이해하는' 수학책이라 할 수 있다.
간간이 문제가 등장하기는 해도 개념 이해를 돕기 위해 기초적인 수준에서 고안된 것일 뿐, 현재의 고등학생들이 수시로 치르는 시험 문제와 같은 난이도는 전혀 아니다. 이 시리즈의 저자 역시 책에 등장하는 수식 중에 혹시 이해하기 어려운 것이 있다면 고민하지 말고 훌쩍 넘기라고 충고한다. '연습 문제 풀이' 같은 과정 없이 단순히 책을 읽는 것만으로도 '적어도 개념만큼은 확실히 잡았다'라는 결론을 내릴 수 있을 것이다. 이러한 의미에서 진정한 '수학 개념 책'이라 할 수 있다.

수학의 기초 체력 단련이 필요한 사람이 읽는 책

이러한 수학 교과의 개념을 중점적으로 다룬 책이 과연 필요할까 의문이 들 수도 있을 것이다. 수학 교과 과정에는 집합이나 방정식, 제곱근, 도형의 성질과 같이 중학교, 심지어는 초등학교에서부터 조금씩 단계적으로 배우게 되어 있는 단원들이 있다. 이러한 단원들은 고등학교 수학에 심화된 내용으로 나오더라도 학생들의 부담이 덜하다. 반면에 고등학교에 올라가서야 처음 접할 수 있는 개념들은 갑자기 높아진 난이도와 수능 시험에 나온다는 부담감에 학생들이 괴로워할 만한 단원들이다. 이 시리즈는 1권 미적분, 2권 확률과 통계, 3권 지수와 로그, 4권 허수와 복소수로 구성되어 있는데 '확률과 통계' 정도만 중학교 수학 시간에 '경우의 수' 수준의 기초적인 내용을 배울 뿐, 미적분이나 로그, 허수와 복소수 등 나머지 단원들은 모두 고등학교 과정에서 처음 접하는 분야다. 학생 개개인의 이해 수준 차이는 무시된 채 진도가 나가고 수업이 진행되는 사이 응용문제를 앞에 두고 어디서부터 손대야 하는지 모르는 학생들은 좌절할 수밖에 없다. 이들에게는 문제집을 거듭 푸는 것이 아니라, 다시 기본 개념부터 차근차근 정립하는 것만이 해법이다. 그래야 문제 의도를 파악하고 풀이 방향을 탐지하는 감각을 익힐 수 있는 것이다.
따라서 이 책은 학교와 학원의 진도를 따라가지 못하는 학생들에게 동력을 제공하고 '수포자'들에게는 다시 한 번 수학에 도전할 수 있는 기초를 마련해 줄 것이다. 또 고등학교 진학을 눈앞에 두고 있는 예비 고등학생이나 심화 수학 단원으로 넘어가는 단계에 있는 고등학교 1학년생들에게는 본 수업에 앞서 기초를 탄탄히 하는 선행 학습의 의미를 지닐 수 있을 것이다. 상위권 학생들에게는 응용문제를 푸는 중간 중간에 다시 기본 개념을 상기시켜 줄 수 있는 보조재로서 기능할 수도 있다.
또 문과 출신으로 대학에서 경제학이나 경영학을 공부해야 하는 대학 새내기들(수학 과목이 부담스러워 문과를 선택하는 경우가 많았을 이들은 파생금융상품의 일종인 옵션의 가격 결정 모델을 배우면서 고난도의 미분 방정식을 풀어야 한다), 그리고 어떤 이유에서든 고등학교 수학책을 다시 펼쳐야 하는 성인들에게도 부담스럽지 않은 난이도의 수학책으로 활용될 수 있을 것이다.

주요 내용

지수와 로그는 수학의 여러 단원 중에서도 실생활과 깊은 관련이 있는 분야다. 돈의 액수부터 길이, 넓이 등 각종 수치에 지수의 원리가 쓰이고 있고 통계 자료에서도 흔히 접할 수 있다. 그럼에도 학교에서 가르치는 지수와 로그는 이러한 현실과의 연계성 없이 공식과 이론에만 치중하는 경향이 있다. 이 책에서는 지수와 그 역인 로그가 우리 일상에서 어떻게 응용되는지를 살핌으로써 지수와 로그의 개념 이해를 도모한다.

- 세상은 지수적으로 변한다?
I부에서는 우리가 사는 세상이 곱셈을 바탕으로 이루어졌다는 것, 즉 '지수적'이라는 점을 다룬다. 일상에서는 경제가 전년 대비 ○% 성장했다든지, 연봉이나 물가가 ○% 올랐다든지 등등 이전에 비해 '몇 배'가 되었는지 백분율로 나타내는 경향이 강하다. 이는 곧 이전 수치나 값에 변동률을 곱해서 생각하는 것이다. 금리로 치자면 '복리'와 같다. 그런데 사람들은 이러한 '곱셈'의 원리를 '덧셈'으로 이해하려는 경향이 있다. 그래서 "경제가 5년 동안 연평균 8%씩 성장하는 것"을 1.085로 생각하지 않고 1+(0.08×5)로 생각하는 것이다. 이러한 경향에 따라, 곱셈적으로 움직이고 기하급수적으로 변하는 세상의 움직임을 덧셈적, 산술급수적으로 파악함으로써 현실을 직시하지 못하고 착각하는 결과를 낳고 만다. 대출 금리를 오해해 눈덩이처럼 불어난 이자에 허덕이는 경우가 대표적이다.

- 소수나 무리수도 지수가 될 수 있을까?
II부에서는 지수의 계산과 원리를 본격적으로 다룬다. 우선, 지수법칙 4가지를 설명하고 가장 기본적인 지수 계산을 해 본다. 다음으로, 지수가 자연수가 아닐 경우, 즉 0이거나 음수이거나, 분수나 소수, 또는 와 같은 무리수일 경우로 지수를 확장하면서 지수법칙을 이용해 각각의 경우를 생각해 본다. 결론은 실수의 범위에 있는 수라면 무엇이든 지수가 될 수 있다는 것이다.

- 1028미터 길이의 화면이면 우주를 담을 수 있다?
III부에서는 10의 n제곱, 2의 n제곱이 만들어 내는 놀라운 세상을 이야기한다. 7장 '10의 n제곱의 세계'에서는 지구에서 출발해 우주의 끝에 도달하는 우주여행을 간단히 따라가 본다. 그런데 이렇게 빛의 속도로 137억 년이 걸리는 거대한 우주도 10의 28제곱이면 간단히 뛰어넘을 수 있다는 이야기를 들려준다. 예를 들어, 지하철 좌석에 앉아 태블릿 PC로 전자책을 들여다보는 사람이 있는데, 이 전자책은 버튼을 누를 때마다 바로 앞 장면의 10배 되는 범위가 10분의 1로 축소되어 한 화면에 담기는 것이라 해 보자. 첫 번째 화면엔 고작 1m 범위만, 즉 맞은편에 앉은 사람의 상반신 정도만 담을 수 있다. 그런데 버튼을 누를수록 10배씩 더 큰 범위가 화면에 담기다 보면 고작 28번째에 현재까지 알려진 우주의 범위를 담을 수 있는 것이다. 지수는 이처럼 놀라운 마법을 부린다. 8장 '2의 n제곱의 세계' 역시 마찬가지다. 두께가 0.1mm인 종이를 반으로 계속 접으면 놀랍게도 25번째에 백두산의 높이(2750m)를 넘어서게 된다.(225≒3355)

- 로그는 곱셈을 덧셈으로 바꾸는 편리한 도구다
IV부에서는 지수의 역인 로그를 소개하고 있다. 10장에서는 로그의 개념을 설명한다. 10을 곱해 가는 100, 101, 102, 103……의 수열에서 지수 부분만을 취하면 0, 1, 2, 3……과 같이 1씩 더하는 수열이 된다. 이처럼 '곱셈'을 '덧셈'으로 생각하는 편한 방식이 로그다. 로그를 사용하면 거듭제곱이 만들어 내는 어마어마한 숫자도 간단하게 표기할 수 있으므로 역사적으로 로그의 발견은 거대한 수치를 계산해 내야 하는 천문학자들의 환영을 받았다. 11장에서는 상용로그의 기본 공식을 통해 기본적인 로그 값들을 계산해 보고, 12장에서는 로그 눈금이 새겨진 계산자를 이용해 계산하는 방법을 살펴본다.

- 로그는 인간적인 표현법?
V부에서는 '인간의 감각은 로그에 충실하다'라는 내용을 다룬다. 카레 요리를 할 때 현재보다 매운맛을 더 내려면 딱 두 배만큼의 카레 가루를 추가로 넣는 것으로는 충분치 않다. '두 배 맵다'는 것을 느끼려면 2배가 아닌 4배 정도에 해당하는 양을 넣어야 한다. 마찬가지로 실내조명을 더욱 밝게 하려면 형광등 개수를 현재의 2배보다는 훨씬 많이 늘려야 '2배 밝아졌다'라는 느낌을 갖게 된다. 이처럼 인간은 실제로는 102배, 103배, 104배로 늘어나야 겨우 2배, 3배, 4배 늘어난 것으로 인식하는 경향이 있다. 즉 인간이 느끼는 감각의 양은 자극 양의 '로그'에 비례하는 것이다.
1등성 별은 6등성보다 6배 밝은 것이 아니라 100배 밝고, 120dB인 소리는 60dB보다 2배가 아닌 1000배 큰 소리이며, 규모 8인 지진은 6인 지진에 비해 에너지가 1000배 크다. 이처럼 별의 밝기, 음압, 지진의 크기, 평균율 음계의 진동수 계산 등에 로그가 쓰인다.


I부에서 우리는 세상은 곱셈적(지수적)으로 이루어졌는데 사람들은 으레 사물을 덧셈적으로 파악한다는 점에 대해 살펴보았다.
예를 들어 어떤 가게의 매출이 매년 20%씩 증가할 전망이라고 하자. 이때 5년 동안의 매출은 전망대로라면 1 → 1.2 → 1.2^2 → 1.2^3 → 1.2^4 → 1.2^5과 같이 증가율 120%(1.2)를 차례대로 곱해 지수적으로 변화하고, 5년 후 매출은 1.2^5=2.48……이므로 약 2.5배가 될 것이다. 그런데 사람들은 대부분 1 → 1+0.2 → 1+0.2×2 → 1+0.2×3 → 1+0.2×4 → 1+0.2×5와 같이 증가율 20%(0.2)를 차례대로 더하는 변화를 머릿속에 그린다. 그 결과 1+0.2×5=2이므로 매출은 2배라고 생각한다.
I부에서 설명했듯이 닫힌 체계에서는 곱셈적(지수적)으로 변화하는 것이 오히려 필연적이다. 그렇기 때문에 세상은 대부분 지수적인 것들로 이루어져 있다.
사람은 복잡한 것을 더 단순한 것으로 다루려는 성향이 있기 때문에 곧잘 사물을 덧셈적으로 파악한다. 이대로라면 곱셈적인 현실을 덧셈적인 것으로 잘못 해석하고 만다. 앞의 예와 같이 5년 후에 2.5배가 되는 것을 2배가 된다고 생각하는 일이 실제 현실에서 일어난다면 심각한 착각일 것이다.


악평이 자자한 '다단계'는 소문처럼 그렇게 나쁜 것일까? 예를 들어 '??꽃 사랑 모임'이라는 단체가 있다고 하자. 이 단체는 1년에 여러 번 행사를 연다. 그때마다 유명 연예인의 공연도 있고 희귀한 꽃도 판매하기 때문에 즐거운 한때를 보낼 수 있다. 더구나 물품을 사라고 억지로 강요하지도 않는다. 모임의 회원은 적절한 요금을 내기만 하면 행사에 참가할 수 있다. 그런데 이 모임에는 다음과 같은 규칙이 있다.
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꽃 사랑 모임의 회칙
① 가입하려는 사람은 회원의 추천을 받아야 하고 모임에 가입비 5만 원을 지불한다.
② 회원(어버이 회원)은 신규 회원(자식 회원) 2명을 추천할 때마다 자식 회원 추천금을 1인당 2만 원씩 받을 수 있다.
③ 회원(어버이 회원)은 해당 회원의 추천을 받고 들어온 회원(자식 회원)이 새롭게 회원(손자 회원) 2명을 추천할 때마다 1인당 1만 원씩의 손자 회원 추천금을 받을 수 있다.
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가입비 5만 원을 내야 하지만 회원이 되면 신규 회원을 2명 끌어들일 때마다 1인당 2만 원씩 벌 수 있고, 끌어들인 회원이 새롭게 2명을 데려올 때마다 손자 회원 추천금이라는 명목으로 1인당 1만 원씩 받을 수 있다. 그러면 가입비 5만 원쯤은 금세 회수할 수 있고 앞으로도 승승장구할 것만 같다.
그러나 처음의 이런 장밋빛 생각은 곧 맥없이 무너지고 만다. 추천금을 받으려면 신규 회원을 1명이 아니라 2명 데려와야 하기 때문이다. 왜 2명이 문제일까? 2의 지수적 증가를 떠올리면 금세 이해가 될 것이다. 사람 수가 금세 엄청나게 불어나기 때문에 새로운 회원을 더 이상 찾을 수 없게 된다. 참고로 10대손 회원이 가입할 무렵이면 회원 수가 1000명을 넘어선다. 주위에는 온통 회원뿐, 새로운 회원을 찾기가 모래밭에서 바늘 찾기다. 따라서 회원들은 대부분 가입비 5만 원만 날릴 뿐, 추천금 같은 건 아예 기대하기 어렵게 된다.

  작가 소개

저자 : 후카가와 야스히사
1952년 일본 아와지에서 태어났다. 교토대 이학부 수학과와 문학부 사회학과를 졸업했으며 동 대학 대학원에서 사회학 연구 석사 과정을 수료했다. 지은 책으로는 『두뇌의 수적 재구축』 『퀴즈로 이해하는 중학 수학』 『퀴즈로 이해하는 고교 수학』 『방정식에 의존하지 않기』 등이 있다.

  목차

추천사·지수와 로그, 자본주의 사회의 필수 지식(김준교)
머리말·알고 보면 우리 삶의 일부인 지수와 로그


I 세상은 지수로 이루어졌다

01 사람은 곱셈보다 덧셈을 좋아한다
02 연봉도 지수적으로 증가한다?
03 부풀리기와 혹 붙이기
04 지수적 세상은 필연적이다


II 지수의 원리

05 지수는 어떻게 계산할까?
06 지수는 이렇게 확장된다


III n제곱이 만들어 내는 놀라운 세상

07 10의 n제곱의 세계
08 2의 n제곱의 세계
09 수를 어떻게 나타낼까?


IV 사람에게는 로그가 필요하다

10 로그란 곱셉을 덧셈으로 바꾸는 도구
11 로그의 원리
12 로그 눈금과 계산자의 원리


V 로그는 인간적이다

13 인간의 감각은 로그에 충실하다
14 진화하는 지수와 로그

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